Pendant de nombreux siècles les mathématiciens ne connaissaient que les nombres réels, c’est-à-dire ceux que nous utilisons dans la vie de tous les jours, et du fait du manque de formalisation mathématique, personne ne s’est posé la question de l’existence de nombres généralisés, c’est-à-dire d’objets qui se comportent de manière similaire aux nombres réels. Ce n’est qu’au XVIè siècle que furent introduits les nombres complexes afin de résoudre certaines équations polynomiales, puis, au XIXè siècle, Hamilton puis Cayley découvrirent les quaternions et les octonions. Ces nombres peuvent être représentés par un ensemble de nombres réels (respectivement 2, 4 et 8), et un théorème indique qu’il s’agit des seuls nombres généralisés. Ces nombres possèdent de nombreuses applications (parfois méconnues), et dans de futurs billets je me concentrerai particulièrement sur leur utilisation pour la construction des groupes de Lie, ainsi que leur lien avec le groupe de Lorentz (relativité restreinte), la supersymétrie et la théorie des cordes. Dans ce billet j’utiliserai de nombreux exemples, en me référant toujours au cas des nombres réels pour bien expliquer les idées.

Nombres réels

On parle de nombre (généralisé) pour tout objet qui étend un certain nombre de propriétés des nombres réels : il s’agit des nombres complexes, des quaternions et des octonions. Avant de d’étudier le cas général, rappelons les propriétés des nombres réels (notés \mathbb R) : il s’agit d’un ensemble d’éléments que l’on peut combiner grâce à :

• l’addition \(+\) : si \(x, y \in \mathbb R\), alors \(x + y \in \mathbb R\) :
  \[ \text{example :} \qquad 2 + 3 = 5 \]
• la multiplication \(\times\) : si \(x, y \in \mathbb R\), alors \(x \times y \in \mathbb R\)
  \[ \text{example :} \qquad 2 \times 3 = 6 \]

Ces opérations satisfont plusieurs propriétés :

• Pour chaque nombre \(x\), il existe un nombre noté \(-x\) tel que la somme soit égale à zéro, \(x + (-x) = 0\) :
  \[ \text{example :} \qquad 2 + (-2) = 0. \]
• Pour chaque nombre \(x\) excepté 0, il existe un nombre noté \(1/x\) ou \(x^{-1}\) tel que le produit soit égal à 1, \(x \times x^{-1} = 1\) :
  \[ \text{example :} \qquad 2 \times 2^{-1} = \frac{2}{2} = 1. \]
• L’addition est commutative : on a \(x + y = y + x\)
  \[ \text{example :} \qquad 2 + 3 = 3 + 2 = 5. \]
• L’addition est associative : on a \((x + y) + z = x + (y + z)\), c’est-à-dire que l’ordre des opérations n’est pas important :
  \[ \text{example :} \qquad 2 + 3 = 3 + 2 = 5. \]
• La multiplication est distributive sur l’addition, c’est à dire \(x \times (y + z) = x \times y + x \times z\) :
  \[ \text{example :} \qquad 3 \times (1 + 2) = (3 \times 1) + (3 \times 2) = 3 + 6 = 9. \]
• On peut définir une norme, c’est-à-dire une mesure de la distance par rapport à zéro : il s’agit de la valeur absolue, \(|x| = |-x|\). Cette norme est multiplicative : \(|xy| = |x| |y|\).

Toutes les propriétés précédentes définissent une algèbre à division normée. En outre \(\mathbb R\) possède deux autres propriétés, qui ne se généralisent pas à toute algèbre à division normée :

• Commutativité de la multiplication.
• Associativité de la multiplication.

Nombres généralisés : complexes, quaternions, octonions

Dans le cas général, il est nécessaire une opération de conjugaison notée \(*\) afin de définir la norme (on parle d’algèbre involutive). On note \(x^*\) le conjugué de \(x\) : il s’agit d’une involution, i.e. \(x^{**} = x\). La norme au carrée est alors définie par \(|x|^2 = x x^*\). Un théorème indique que les réels \(\mathbb R\), les complexes \(\mathbb C\), les quaternions \(\mathbb H\) et les octonions \(\mathbb O\) sont les seules algèbres à division normées. On définit la dimension d’une algèbre comme le nombre de réels dont l’on a besoin pour écrire un élément de cette algèbre :
\[\dim \mathbb R = 1, \qquad
\dim \mathbb C = 2, \qquad
\dim \mathbb H = 4, \qquad
\dim \mathbb O = 8.\]

Les complexes possèdent les mêmes propriétés que les réels, par contre la multiplication n’est pas commutative pour les quaternions, et ni commutative ni associative pour les octonions.

Espaces vectoriels

À partir de \(n\) réels on peut former un vecteur noté \(\vec x\) de taille \(n\), c’est-à-dire une liste ordonnée \(\vec x = (x_1, \ldots, x_n)\), et on écrit l’espace vectoriel \(\mathbb R^n\). La somme de deux vecteurs est définie comme la somme de chaque de ses composantes. La norme réelle se généralise à la norme sur l’espace vectoriel :
\[|\vec x|^2 = x_1^2 + \cdots + x_n^2. \]

On peut généraliser la notion de vecteurs aux autres types de nombres : \(\mathbb C^n, \mathbb H^n, \mathbb O^n\). Toutefois la non-associativité de \(\mathbb O\) implique que seuls \(\mathbb O\) et \(\mathbb O^2\) existent : cette dernière propriété explique pourquoi il n’existe que cinq groupes de Lie exceptionnels. Ces divers espaces sont très intéressants dans le cadre de la géométrie (par exemple les espaces projectifs associés à ces divers espaces vectoriels admettent les groupes de Lie comme groupes d’isométries).

Conclusion

L’étude des différents nombres généralisés ne présente pas qu’un intérêt purement théorique, du fait des nombreuses applications concrètes. Les nombres complexes sont utilisés depuis longtemps dans un grand nombre de domaines : traitement du signal, modélisation hydrodynamique, etc. De plus la réalité est formulée en termes de nombres complexes à un niveau plus fondamental : bien que nos appareils de mesure ne puissent indiquer qu’un nombre réel, la mécanique quantique (et ses extensions comme la théorie quantique des champs et la gravité quantique) font naturellement intervenir les nombres complexes. De leur côté, les quaternions sont principalement utilisés en infographie 3D (ils permettent de représenter facilement les rotations).

Pour finir, notons qu’il existe une relation intéressante entre le produit de deux sommes de \(n\) carrés, et la somme de \(n\) carrés (de \(n\) nombres) : cela est lié à l’existence de la norme pour ces divers nombres généralisés (voir les théorèmes de Fermat, de Lagrange et de Degen).

Références

1. J. Stillwell, Naive lie theory, Springer (2008).
2. J. C. Baez, The Octonions, arXiv:math/0105155 (2001).