Pendant de nombreux siècles les mathématiciens ne connaissaient que les nombres réels, c’est-à-dire ceux que nous utilisons dans la vie de tous les jours, et du fait du manque de formalisation mathématique, personne ne s’est posé la question de l’existence de nombres généralisés, c’est-à-dire d’objets qui se comportent de manière similaire aux nombres réels. Ce n’est qu’au XVIè siècle que furent introduits les nombres complexes afin de résoudre certaines équations polynomiales, puis, au XIXè siècle, Hamilton puis Cayley découvrirent les quaternions et les octonions. Ces nombres peuvent être représentés par un ensemble de nombres réels (respectivement 2, 4 et 8), et un théorème indique qu’il s’agit des seuls nombres généralisés. Ces nombres possèdent de nombreuses applications (parfois méconnues), et dans de futurs billets je me concentrerai particulièrement sur leur utilisation pour la construction des groupes de Lie, ainsi que leur lien avec le groupe de Lorentz (relativité restreinte), la supersymétrie et la théorie des cordes. Dans ce billet j’utiliserai de nombreux exemples, en me référant toujours au cas des nombres réels pour bien expliquer les idées. Continuer la lecture →