Dans un article précédent je décrivais quelques propriétés des théories de supergravité et de leur compactification avec la méthode de Kaluza–Klein. En général ces théories présentent un groupe de symétrie globale extrêmement grand, qui comporte certaines « dualités » (c’est-à-dire des symétries qui ne sont visibles qu’au niveau des équations du mouvement et non de l’action). Par la suite nous souhaitons rendre local un sous-groupe de ce groupe global pour obtenir des supergravités jaugées (gauged supergravity), qui interviennent dans les compactifications avec flux – mais je réserve ce dernier cas pour un article ultérieur. Ce sujet des symétries et dualités en supergravité est un sujet très complexe, que je ne comprenais pas vraiment jusqu’à récemment (a fortiori pour les théories \(N=4, 8\) à 4d, puisque j’ai surtout étudié \(N=1, 2\)) : c’est en lisant des notes de cours de H. Samtleben [1] que j’ai commencé à comprendre. Cet article sera un peu plus compliqué que le précédent puisqu’il est difficile d’expliquer ces notions sans mathématiques.
Les champs bosoniques en supergravité sont la métrique (décrivant le graviton) \(g_{\mu\nu}\), des champs vectoriels \(A_\mu^M\) et scalaires \(\phi^i\), et leur dynamique est donnée par le lagrangien
\[ L = -\frac{R}{2} – \frac{1}{2}\; G_{ij}(\phi^k) \partial^\mu \phi^i \partial_\mu \phi^j – \frac{1}{4}\; M_{MN}(\phi^k) F^M_{\mu\nu} F^{N\; \mu\nu} + \cdots, \]
où \(G_{ij}\) et \(M_{MN}\) sont les matrices cinétiques des champs scalaires et vectoriels : en effet on reconnaît ici un modèle sigma non linéaire. Cela signifie que les champs \(\phi^i\) sont des coordonnées pour une variété interne, correspondant au coset \(G/K\) où \(G\) est le groupe (en général non compact) de symétrie global et \(K\) son sous-groupe compact maximal. En effet les champs scalaires se transforment de manière non-linéaires sous l’action de \(G\), et la transformation de \(K\) peuvent être utilisées pour en fixer \(\dim K\), ce qui en laisse \(\dim G – \dim K\).
On peut paramétriser les champs scalaires par une matrice \(V(x)\) à valeur dans \(G\), de sorte que le courant de Noether associé à \(G\) s’obtient à partir de la forme de Maurer–Cartan :
\[ J_\mu = V^{-1} \partial_\mu V \]
(à valeur dans l’algèbre de Lie de G). Du fait de la structure de coset on peut décomposer ce courant comme
\[ J_\mu = Q_\mu + P_\mu \]
où \(Q_\mu\) est dans l’algèbre de \(K\) et \(P_\mu\) dans son complément. À partir de là on peut définir un lagrangien
\[ L = -\frac{1}{2} \mathrm{tr} (P_\mu P^\mu) \]
invariant par :
- transformation globale de \(G\) ;
- transformation locale de \(K\).
L’action sur les champs s’écrit
\[ \delta V = \Lambda V – V k(x), \]
où \(k(x)\) est un vecteur de Killing. Cela se traduit sur les courants par
\[ \delta Q_\mu = -\partial_\mu k + [k, Q_\mu], \qquad \delta P_\mu = [k, P_\mu]. \]
\(Q_\mu\) se comporte comme une connexion : il tient le rôle du champ vectoriel associé (il s’agit donc d’un champ composite) à la symétrie locale \(K \). Ce résultat se retrouve particulièrement en supergravité \(N=1, 2\), où la symétrie R est rendue locale en même temps que le groupe de super-Poincaré (puisque celle-ci a un commutateur non trivial avec les générateurs de supersymétrie), avant d’être fixée dans une certaine jauge ; dans ce cas le champ de jauge de la symétrie R est composé des champs scalaires. En fait la symétrie est locale mais ne correspond pas à une symétrie de jauge (et pour cette raison le champ de jauge n’est pas associé à des degrés de liberté supplémentaires) car elle prend simplement en compte la redondance des champs scalaires.
Il est donc nécessaire de rendre covariantes toutes les dérivées ; par exemple la dérivée covariante des spineurs, en plus d’inclure la connexion de spin \(\omega_\mu\), devra maintenant inclure \(Q_\mu\) si l’on veut que le lagrangien total soit invariant.
Notons aussi que l’on peut choisir de fixer la jauge pour \(K\) (comme dans l’exemple précédent de la symétrie R), mais dans ce cas toute transformation de \(G/K\) doit être accompagnée d’une transformation de \(K\) pour revenir dans la jauge initiale.
Références
- Lectures on Gauged Supergravity and Flux Compactifications, H. Samtleben, 2008, arXiv:0808.4076.
- Magnetic charges in local field theory, B. De Wit, H. Samtleben, M. Trigiante, 2005, arXiv:hep-th/0507289.
- Supergravity with Fayet-Iliopoulos terms and R-symmetry, A. Van Proeyen, 2004, arXiv:hep-th/0410053.